El objetivo de este blog es para dar a conocer lo visto en mi clase de matemáticas.

Con base mis trabajos en la materia. consulte el siguiente libro del autor. Aurelio Baldor

http://hatunamauta.blogspot.mx/2008/11/historia-de-aurelio-baldor-la-pasin-por.html

Unidad 1: Funciones 

Propósito:  El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así

como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando
especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas,
tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos
Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

1.1 Definición y notación de función.

En este primer tema explicare un poco de lo que aprendí visto en clase. Para aplicarlo en problemas.

Función es una regla en la que introduzco un valor de entrada y me da un valor de salida. Al valor de entrada se le llama dominio y al valor de salida se le llama  rango o codo minio.

 La notación de función, es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes. La convención o conjunto de símbolos acordados por la comunidad matemática para representar las funciones. Ya sabemos que al escribir f (X) de ninguna manera nos referimos a una multiplicación, sino que estos símbolos indican que tenemos una función llamada f, que depende de una variable llamada X . O sea, la letra fuera del paréntesis es el nombre de la función, y la letra dentro del paréntesis es la variable independiente.

http://www.allmathwords.org/es/f/functionnotation.html

1.2 Dominio y rango de una función. 

En este tema tratare de explicar con las palabras más correctas lo que entiendo por dominio y rango, espero sea comprendido.

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). 

El siguiente vídeo  complementa la información sobre dominio y rango de las funciones:         

1.3 Tipos de funciones. 

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función. 

Mi objetivo es que llegues a alcanzar a comprender su uso y estudio.

*Las funciones polinómicas. vienen definidas por un polinomio. f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ

Su dominio es,es decir, cualquier número real tiene imagen.

*Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

*Funciones radicales, Es una función cuya regla es una expresión radical. Una función raíz cuadrada es una función radical. El criterio de las funciones radicales viene dado por la variable x bajo el signo radical. Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real.

*Función exponencial, Es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

*Función logarítmica, Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

* 

* Funciones trigonométricas,  Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la ex secante (sec θ − 1).

*Función por partes, Son funciones que para diferentes valores del dominio, tienen una definición diferente. Por ejemplo, si tenemos que definir la función Módulo, para ciertos valores del dominio la función será f(x) = x y para otros valores será f(x) = -x

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos.

* Función valor absoluto, Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1 Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2 Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3 Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

*Combinación de funciones, En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir nuevas. Sumas, diferencias, productos y cocientes. Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f g, f ! g, fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide números reales. Por ejemplo, se define la función f g por La nueva función f g se llama suma de las funciones f y g; su valor en x es . Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si y están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g. Así, si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f g es la intersección de estos dominios, es decir, A B. De manera similar, se puede de- finir la diferencia f ! g, el producto fg, y el cociente f/g de las funciones f y g. Sus dominios son A B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir entre cero. f1x2 g1x2 f1x2 g1x2.

*Función inversa,Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:                                                                        Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.            Función inversa Sea f una función con dominio Xf y contradominio Yf . Si existe una función g con dominio Xg y contradominio Yg tal que: i. f(g(x)) = x para toda x ∈ Xg ii. g(f(x)) = x para toda x ∈ Xf entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f −1 denota la función inversa de f .

http://matematica.laguia2000.com/general/tipos-de-funciones

1.4 operaciones con funciones

Mi objetivo en este tema es: explicar detalladamente lo que es Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es 

Multiplicación
La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f ·g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica el producto de dichas fórmulas.

Por ejemplo, sean f(x) = x + 2 y g(x) = x², entonces la función producto es h(x) = (f ·g) (x) = (x + 2) · x² = x³ + 2x.

División

La división de dos funciones f y g es otra función f /g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las imágenes de f y g, siempre que la imagen de g sea distinto de 0.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica la división de dichas fórmulas, excepto para los valores de x en que g(x) es cero, pues para dichos valores no existe la función división.

Sean f(x) =x³ + 2 y g(x) = x². La función división f/g es:

El dominio de definición de esta función es R - {0}, es decir está definida para cualquier valor de x excepto para x = 0.

En la siguiente escena puedes ver las gráficas de estas tres funciones f(x) , g(x) y h(x) = f(x)/h(

1.5 composición de funciones 

Mi objetivo es aprender un poco más en la investigación de este tema y hacerles ver lo entendido.

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm

1.6 Gráfica de una función

Objetivo: Aprender a graficar funciones.

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

http://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-grafica-de-una-funcion

1.7 Función lineal y función cuadrática

Objetivo: saber distinguir cada tipo de función 

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + b            donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:
f(x) = mx
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
f(x) = mx + b                                              
 http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax² + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax² es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente.
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/quadratic.html

 1.8 Función exponencial y logarítmica Objetivo: aprender a calcular ambos tipos de funciones.

La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas". Es importante aprender bien las funciones exponenciales y logarítmicas, porque ambas son de gran importancia en las matemáticas.
Se llama función exponencial a aquella cuya expresión es: f ( x ) = k . ax + b Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y cuenta con una característica particular, ya que su derivada es la misma función. 
La función logarítmica es del tipo f ( x ) = logb x donde b representa a un número real dis¬tinto de 1 y x es siempre mayor que 0 b ? R; b = 1; x > 0 .

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/graphing-exponential-and-logarithmic-functions.html


1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación. 

Mi objetivo es conocer muy bien como aplicar cada una de las funciones en las ciencias económico administrativas.

La función de oferta es la cantidad ofrecida de un Bien (q) con su Precio del Mercado (P).

Normalmente, la relación entre cantidad ofrecida y precio del Bien es positiva: aumentos en el Precio están asociados a aumentos en la Cantidad Ofrecida.

La Función de Oferta se denota como:

q=g(P, ?)

donde q es la cantidad ofrecida del Bien, p es su Precio de Mercado y ? son otros factores que influyen en la Oferta, tales como la tecnología, la Función de Producción, el precio de los Factores Productivos que colaboran en la producción del Bien, el clima, etc.

La Función de Oferta se puede representar en un gráfico donde en el eje vertical se mide el Precio del Bien y en el eje horizontal su cantidad ofrecida. corno una curva de inclinación positiva, o creciente de izquierda a derecha.


La función de demanda 

La ley de la demanda señala que es probable observar que cuando el precio de un bien aumenta su demanda disminuye, por dos razones: las personas podemos sustituir un bien por otro similar en mercados competitivos y porque el poder de compra se reduce cuando el precio aumenta. 
El razonamiento aplica para el sentido contrario, una disminución del precio implicará un aumento de la demanda bajo ciertas circunstancias supuestas como que se trata de un individuo que maximiza su utilidad sujeto a las restricciones comunes.

P = b - cQ

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2B.html

Función de recta presupuestal

La ecuación de la recta presupuestaria depende del ingreso de los consumidores y de los precios de los bienes. 

PxX+PyY=I

Px - precio del producto X         Py - precio del producto Y                                                       I – Ingresos del consumidor 

http://es.slideshare.net/edgaricardo/la-recta-de-presupuesto-03

Función de ingresos, costos y utilidad

Función de Ingreso  (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.

Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.

Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:

Cantidad Q Precio

P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)

En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.

Función de Costos: 

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo

En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

 Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costo marginal, mide el costo incrementa por artículo.

 Función de utilidad:

                                            U = f (X1, X2, X3 , ... , Xn) (1.1)

Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada persona.

http://es.scribd.com/doc/68823445/Funcion-de-Costo-Utilidad-e-Ingresos#scribd

Funciones de apreciación y depreciación

La depreciación y apreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo será igual al costo menos el valor de desecho.

Costo – valor de desecho	=	monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual

http://addimate.blogspot.mx/2014/05/funciones-de-apreciacion-y-depreciacion.html

RESUMEN

En esta primera unidad vimos las funciones, una función es una regla en la que introduzco un valor de entrada y me da un valor de salida. Al valor de entrada se le llama dominio y al valor de salida se le llama  rango o codominio. Existen varios tipos de funciones. Vimos también cada uno de ellos. 

amos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.  vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas".

La ley de la demanda señala que es probable observar que cuando el precio de un bien aumenta su demanda disminuye. La ecuación de la recta presupuestaria depende del ingreso de los consumidores y de los precios de los bienes.  Función de Ingreso  (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo. La depreciación y apreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. esto es lo que vimos en la unidad 1.

Unidad 2: Límites y Continuidad: 

Propósito: El alumno comprenderá la noción de limite y de continuidad de una función;las propiedades de los limites y los casos especiales de los limites. aprenderá a calcular el limite de una función. 

2.1 Definición de límite.

Es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html

2.2 Propiedades de los límites.

Las propiedades de los límites, también conocidas como “Teoremas De Límite Central “, se pueden establecer como:

1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar

2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.

3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.

4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,

5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”.

6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,

7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo.

8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.

9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad,

10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella,

11). Teorema de Estricción: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x.

2.3 Límites laterales.

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

• x  a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

• x  a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm

2.4 Límites al infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

por ejemplo:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html

2.5 Continuidad y discontinuidad.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. 
http://www.vadenumeros.es/primero/tipos-de-discontinuidad.htm

2.6 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.

El interés compuesto continuamente es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalización de los intereses.

El limite de la función costo promedio, se divide la función del costo entre el número de artículo, a continuación les dejo un vídeo donde viene paso por paso como sacar el costo promedio.

RESUMEN:

-El limite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los limites de cada una de ellas.

1º Lim (f± g) (x) = Lim f(x) ± lim g(x)

Indeterminación ± ±

• El limite del producto es igual a los productos de los limites.

2º Lim (f·g) (x) = [lim f(x)]· [lim g (x)]

Indeterminación o·

-El cociente de dos funciones es igual a el cociente de sus limites.

3º Lim (f/g) (x) = lim f(x) / lim g (x)

Indeterminación o/o , /

-La potencia de una función es igual a la potencia del limite.

4º Lim (fg) (x) = [lim f (x)]

Indeterminaciones 10, 0, o0.

*Si el numerador y el denominador son funciones polinómicas del mismo grado entonces el limite es el conciente de los coeficientes de los monomios de mayor grado.

Si el grado del numerador es mayor al grado del denominador entonces el limite es infinito.

Continuidad

Def. Intuitiva:

Una función f(x) es continua si podemos dibujar su grafica sin levantar el lápiz del papel.

Def. continuidad puntual:

Una función f(x) es continua e un punto a si se verifica que Lim f(x) =f(x)

Tipos de discontinuidad.

a) Discontinuidad evitable: Cuando se cumple el paso 2 y falla el 1 o el 3.

b) Discontinuidad de salto finito: Cuando en el paso 2 los limites laterales existen pero son distintos.

c) Discontinuidad de salto infinito: Cuando en el paso 2 alguno de los limites laterales es infinito.

- Una función es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.

Unidad 3: Derivada de una Función.

Propósito. El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. utilizara la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. aplicara las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto;y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción. 

 3.1 Definición de la derivada 

En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero. La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incrementa cuando el incremento de la variable tiende a cero.

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento.

simbolizado de la siguiente manera  . Después de la formula que tiene  se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre  y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

http://dmi.uib.es/~chusa/datos/MatesII/Tema6-2.pdf

3.3 La derivada como razón de cambio.

http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y continuidad.

Al igual que el estudio de límites y continuidad en funciones de varias variables se reduce al estudio de sus funciones componentes, igualmente ocurre con la diferenciabilidad. Por tanto nos centraremos en saber trabajar sobre los campos escalares.

 Existe una diferencia fundamental entre una y varias variables. En una variable una función posee derivada (es derivable) si y solo si posee diferencial (es diferenciable). En varias variables una función puede poseer "derivada" (ser derivable) y no poseer diferencial (no ser diferenciable). Es el concepto de la diferenciabilidad el que reporta buenas propiedades, y es por tanto el que se estudia y desarrolla. Así por ejemplo si una función es diferenciable es continua. Por el contrario el concepto de "derivable" que pudiera parecer una generalización más natural es más patológico, ya que por ejemplo, una función puede ser "derivable " y no ser ni siquiera continua.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o cociente de funciones.

La derivada de una función es cero.

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

                                              f'(a)
                                         ------^------    
                 k.f(x) - k.f(a)         (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
            x->a      x - a        x->a      x - a  

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:

                (f+g)(x) - (f+g)(a)       f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
            x->a      (x-a)           x->a         (x-a)
   
                f(x) - f(a)    g(x) - g(a)
          = lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
            x->a   (x-a)          (x-a)

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
    (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:

                (f.g)(x) - (f.g)(a)       f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
            x->a      (x-a)           x->a       (x-a)

      f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
  x->a                 (x-a)

             f'(a)               g'(a)
(*) g(a) -----^-----         -----^-----
    -^- (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a        (x-a)               (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA
 

La regla de la cadena la podemos combinar con la regla de la potencia dando origen a la regla de la potencia generalizada.

((g(x))n)′=n(g′(x))n−1g(x)

http://es.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia

3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior.

Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras elcosto marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida.

La utilidad marginal de un bien o servicio es la ganancia (o pérdida) ante un aumento (o disminución) del consumo de ese bien o servicio en una unidad. Los economistas hablan a veces de una ley de la utilidad marginal decreciente pero si somos puristas, la función de utilidad marginal si el precio de venta es fijo debería ser una función inversa del costo marginal ya que se calcularía restando al precio este coste marginal

.
PROPENSIÓN MARGINAL A CONSUMIR: Consiste en el incremento del gasto en consumo ante un incremento del ingreso:

pmc = DC 

/ DY
El valor de la propensión marginal a consumir está entre cero y uno, dado que el incremento en el ingreso no se gasta íntegramente en consumo, de manera que: 
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos

0 > pmc > 1

La propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el nivel de ahorro. 

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/cont/article/view/2169/1763

RESUMEN 

 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto.Al igual que el estudio de límites y continuidad en funciones de varias variables se reduce al estudio de sus funciones componentes, igualmente ocurre con la diferenciabilidad. Por tanto nos centraremos en saber trabajar sobre los campos escalares.

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

derivar usando las reglas de la cadena y de la potencia segun la cual: d/dx= [u^n]= (n.u^n-1)(du/dx) el problema en cuestión es el siguiente y=(3x-2/4x-1)^6 mi respuesta es: 30(3x-2)^5 y´= ---------------- (4x-1)^7 pues la función interna "u".

las ciencias económico administrativas con sus aplicaciones cada una que nos sirve para sacar cada una de ellas.

Esto fue lo que vimos en esta unidad. 

Unidad 4: Tópicos complementarios de diferenciación.

Propósito:El alumno aprenderá el uso e técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas, y funciones implícitas entre otras. comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.

4.2 Derivadas de funciones exponenciales.

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

http://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

4.3 Diferenciación implícita.

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/derivacion_implicita.htm

4.4 Diferenciación logarítmica.

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo..



http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html

4.5 Derivadas de orden superior.

Al derivar una función cualquiera y fx = ( ) se genera otra función y' g x = ( ), como por ejemplo en el caso de que y = x2 , al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente curso ha estado encaminado a obtener la primera derivada.

4.6 Diferenciales.

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html

4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas:  costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior.

Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras el costo marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida.

La utilidad marginal de un bien o servicio es la ganancia (o pérdida) ante un aumento (o disminución) del consumo de ese bien o servicio en una unidad. Los economistas hablan a veces de una ley de la utilidad marginal decreciente pero si somos puristas, la función de utilidad marginal si el precio de venta es fijo debería ser una función inversa del costo marginal ya que se calcularía restando al precio este coste marginal.
PROPENSIÓN MARGINAL A CONSUMIR: Consiste en el incremento del gasto en consumo ante un incremento del ingreso:

pmc = DC 

/ DY. El valor de la propensión marginal a consumir está entre cero y uno, dado que el incremento en el ingreso no se gasta íntegramente en consumo, de manera que: 
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos

0 > pmc > 1

La propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel.

RESUMEN:
En esta unidad aprendí a utilizar la técnicas de derivación, los pasos de como hacerlo, y los conceptos mas importantes para la realización de  diferenciación.  Esta unidad fue de mucho aprendizaje en cada punto. Como en la función logarítmica, tenia dudad de como realizar  y con la investigación de ella reafirme.La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo. Y asi de cada tema aprende un poco.

Unidad 5:Aplicaciones de la derivada:

5.1 Función creciente y decreciente.

 Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

 f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x₂ ), la función se dice estrictamente decreciente.

Para dejarlo mas concreto les dejo el siguiente vídeo, espero sea de su agrado.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.h

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos

Extremos relativos

La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

Extremos absolutos

Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:

f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.

f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.

La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.

https://sites.google.com/site/virtualcdcasasceduardo/5-aplicacion-de-la-derivada/conceptos-de-extremos-absolutos-extremos-relativos-puntos-criticos

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

"Sea  un punto crítico de una función  que es continua en un intervalo abierto  que contiene a . Si  es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces  puede clasificarse como sigue."

1. Si  ' cambia de positiva a negativa en , entonces  tiene un máximo relativo en .

2. Si  ' cambia de negativa a positiva en , entonces  tiene un mínimo relativo en .

3. Si  ' es positiva en ambos lados de  o negativa en ambos lados de c, entonces  no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

 La maximización, Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Su utilidad o beneficio,esla medida de la satisfacción que obtiene el consumidor al consumir o adquirir un bien o servicio en respuesta a sus necesidades. En Latinoamérica se usa también para referirse a las ganancias o beneficios. 

Minimización de costos, 

a)El cociente de las Productividades Marginales de los factores sea igual a la Relación Técnica de Sustitución. b) El cociente de las Productividades Marginales de los factores sea igual a la Relación Técnica de Sustitución y mayor que el cociente de los precios de los factores. c) El cociente de las Productividades Marginales de los factores sea igual a la Relación Técnica de Sustitución y menor que el cociente de los precios de los factores. d) El cociente de las Productividades Marginales de los factores sea igual al cociente de los precios de los factores.

El costo promedio (también denominado coste unitario) es el costo de producción por unidad de producto, y se calcula dividiendo el total de los costos fijos y los costos variables por el número total de unidades producidas (producción total). La reducción de los costes medios son una potente ventaja competitiva.

Fórmula: (costos fijos + costos variables) / La producción total

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

La elasticidad de la demanda es la cantidad demandada de un bien o servicio a los cambios en el precio de dicho bien o servicio. Otorga el cambio porcentual de la cantidad demandada en relación a un cambio porcentual en el precio, considerando que el resto de determinantes de la demanda, como la renta, permanecen constantes (ceteris paribus). Fue concebida por el economista inglés Alfred Marshall.

Ante un aumento del ingreso de los consumidores, usualmente éstos aumentan su cantidad consumida, y viceversa. La elasticidad ingreso de la demanda mide la proporción del aumento en el consumo de un producto ante un cambio proporcional en el ingreso. 

http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-7.htm

RESUMEN:
En esta unidad hablamos sobre la aplicación de la derivada, viendo cada unoo de sus puntos, lo que mas aprendi fue que 

 Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £ x₂, . La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s)

es el costo de producción por unidad de producto, y se calcula dividiendo el total de los costos fijos y los costos variables por el número total de unidades producidas.
Espero les haya gustado mi trabajo.