Unidad 3: Derivada de una Función.

Propósito. El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. utilizara la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. aplicara las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto;y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción. 

 3.1 Definición de la derivada 

En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero. La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incrementa cuando el incremento de la variable tiende a cero.

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento.

simbolizado de la siguiente manera  . Después de la formula que tiene  se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre  y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

http://dmi.uib.es/~chusa/datos/MatesII/Tema6-2.pdf

3.3 La derivada como razón de cambio.

http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y continuidad.

Al igual que el estudio de límites y continuidad en funciones de varias variables se reduce al estudio de sus funciones componentes, igualmente ocurre con la diferenciabilidad. Por tanto nos centraremos en saber trabajar sobre los campos escalares.

 Existe una diferencia fundamental entre una y varias variables. En una variable una función posee derivada (es derivable) si y solo si posee diferencial (es diferenciable). En varias variables una función puede poseer "derivada" (ser derivable) y no poseer diferencial (no ser diferenciable). Es el concepto de la diferenciabilidad el que reporta buenas propiedades, y es por tanto el que se estudia y desarrolla. Así por ejemplo si una función es diferenciable es continua. Por el contrario el concepto de "derivable" que pudiera parecer una generalización más natural es más patológico, ya que por ejemplo, una función puede ser "derivable " y no ser ni siquiera continua.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o cociente de funciones.

La derivada de una función es cero.

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

                                              f'(a)
                                         ------^------    
                 k.f(x) - k.f(a)         (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
            x->a      x - a        x->a      x - a  

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:

                (f+g)(x) - (f+g)(a)       f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
            x->a      (x-a)           x->a         (x-a)
   
                f(x) - f(a)    g(x) - g(a)
          = lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
            x->a   (x-a)          (x-a)

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
    (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:

                (f.g)(x) - (f.g)(a)       f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
            x->a      (x-a)           x->a       (x-a)

      f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
  x->a                 (x-a)

             f'(a)               g'(a)
(*) g(a) -----^-----         -----^-----
    -^- (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a        (x-a)               (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA
 

La regla de la cadena la podemos combinar con la regla de la potencia dando origen a la regla de la potencia generalizada.

((g(x))n)′=n(g′(x))n−1g(x)

http://es.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia

3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior.

Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras elcosto marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida.

La utilidad marginal de un bien o servicio es la ganancia (o pérdida) ante un aumento (o disminución) del consumo de ese bien o servicio en una unidad. Los economistas hablan a veces de una ley de la utilidad marginal decreciente pero si somos puristas, la función de utilidad marginal si el precio de venta es fijo debería ser una función inversa del costo marginal ya que se calcularía restando al precio este coste marginal

.
PROPENSIÓN MARGINAL A CONSUMIR: Consiste en el incremento del gasto en consumo ante un incremento del ingreso:

pmc = DC 

/ DY
El valor de la propensión marginal a consumir está entre cero y uno, dado que el incremento en el ingreso no se gasta íntegramente en consumo, de manera que: 
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos

0 > pmc > 1

La propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de 

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/cont/article/view/2169/1763

RESUMEN 

 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto.Al igual que el estudio de límites y continuidad en funciones de varias variables se reduce al estudio de sus funciones componentes, igualmente ocurre con la diferenciabilidad. Por tanto nos centraremos en saber trabajar sobre los campos escalares.

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

derivar usando las reglas de la cadena y de la potencia segun la cual: d/dx= [u^n]= (n.u^n-1)(du/dx) el problema en cuestión es el siguiente y=(3x-2/4x-1)^6 mi respuesta es: 30(3x-2)^5 y´= ---------------- (4x-1)^7 pues la función interna "u".

las ciencias económico administrativas con sus aplicaciones cada una que nos sirve para sacar cada una de ellas.

Esto fue lo que vimos en esta unidad.