Unidad 2: Límites y Continuidad:
Propósito: El alumno comprenderá la noción de limite y de continuidad de una función;las propiedades de los limites y los casos especiales de los limites. aprenderá a calcular el limite de una función.
2.1 Definición de límite.
Es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html
2.2 Propiedades de los límites.
1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar
2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.
3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.
4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,
5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”.
6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,
7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo.
8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.
9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad,
10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella,
11). Teorema de Estricción: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x.
2.3 Límites laterales.
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.
El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
- x a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
- x a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.
2.4 Límites al infinito
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.
por ejemplo:
2.5 Continuidad y discontinuidad.
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua.
http://www.vadenumeros.es/primero/tipos-de-discontinuidad.htm
2.6 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.
El interés compuesto continuamente es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalización de los intereses.
El limite de la función costo promedio, se divide la función del costo entre el número de artículo, a continuación les dejo un vídeo donde viene paso por paso como sacar el costo promedio.
RESUMEN:
-El limite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los limites de cada una de ellas.
1º Lim (f± g) (x) = Lim f(x) ± lim g(x)
Indeterminación ± ±
- El limite del producto es igual a los productos de los limites.
2º Lim (f·g) (x) = [lim f(x)]· [lim g (x)]
Indeterminación o·
-El cociente de dos funciones es igual a el cociente de sus limites.
3º Lim (f/g) (x) = lim f(x) / lim g (x)
Indeterminación o/o , /
-La potencia de una función es igual a la potencia del limite.
4º Lim (fg) (x) = [lim f (x)]
Indeterminaciones 10, 0, o0.
*Si el numerador y el denominador son funciones polinómicas del mismo grado entonces el limite es el conciente de los coeficientes de los monomios de mayor grado.
Si el grado del numerador es mayor al grado del denominador entonces el limite es infinito.
Continuidad
Def. Intuitiva:
Una función f(x) es continua si podemos dibujar su grafica sin levantar el lápiz del papel.
Def. continuidad puntual:
Una función f(x) es continua e un punto a si se verifica que Lim f(x) =f(x)
Tipos de discontinuidad.
a) Discontinuidad evitable: Cuando se cumple el paso 2 y falla el 1 o el 3.
b) Discontinuidad de salto finito: Cuando en el paso 2 los limites laterales existen pero son distintos.
c) Discontinuidad de salto infinito: Cuando en el paso 2 alguno de los limites laterales es infinito.
- Una función es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.
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