Unidad 1: Funciones 

Propósito:  El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así

como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando
especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas,
tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos
Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

1.1 Definición y notación de función.

En este primer tema explicare un poco de lo que aprendí visto en clase. Para aplicarlo en problemas.

Función es una regla en la que introduzco un valor de entrada y me da un valor de salida. Al valor de entrada se le llama dominio y al valor de salida se le llama  rango o codo minio.

 La notación de función, es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes. La convención o conjunto de símbolos acordados por la comunidad matemática para representar las funciones. Ya sabemos que al escribir f (X) de ninguna manera nos referimos a una multiplicación, sino que estos símbolos indican que tenemos una función llamada f, que depende de una variable llamada X . O sea, la letra fuera del paréntesis es el nombre de la función, y la letra dentro del paréntesis es la variable independiente.

http://www.allmathwords.org/es/f/functionnotation.html

1.2 Dominio y rango de una función. 

En este tema tratare de explicar con las palabras más correctas lo que entiendo por dominio y rango, espero sea comprendido.

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). 

El siguiente vídeo  complementa la información sobre dominio y rango de las funciones:         

1.3 Tipos de funciones. 

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función. 

Mi objetivo es que llegues a alcanzar a comprender su uso y estudio.

*Las funciones polinómicas. vienen definidas por un polinomio. f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ

Su dominio es,es decir, cualquier número real tiene imagen.

*Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

*Funciones radicales, Es una función cuya regla es una expresión radical. Una función raíz cuadrada es una función radical. El criterio de las funciones radicales viene dado por la variable x bajo el signo radical. Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real.

*Función exponencial, Es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

*Función logarítmica, Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

* 

* Funciones trigonométricas,  Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la ex secante (sec θ − 1).

*Función por partes, Son funciones que para diferentes valores del dominio, tienen una definición diferente. Por ejemplo, si tenemos que definir la función Módulo, para ciertos valores del dominio la función será f(x) = x y para otros valores será f(x) = -x

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos.

* Función valor absoluto, Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1 Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2 Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3 Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

*Combinación de funciones, En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir nuevas. Sumas, diferencias, productos y cocientes. Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f g, f ! g, fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide números reales. Por ejemplo, se define la función f g por La nueva función f g se llama suma de las funciones f y g; su valor en x es . Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si y están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g. Así, si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f g es la intersección de estos dominios, es decir, A B. De manera similar, se puede de- finir la diferencia f ! g, el producto fg, y el cociente f/g de las funciones f y g. Sus dominios son A B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir entre cero. f1x2 g1x2 f1x2 g1x2.

*Función inversa,Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:                                                                        Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.            Función inversa Sea f una función con dominio Xf y contradominio Yf . Si existe una función g con dominio Xg y contradominio Yg tal que: i. f(g(x)) = x para toda x ∈ Xg ii. g(f(x)) = x para toda x ∈ Xf entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f −1 denota la función inversa de f .

http://matematica.laguia2000.com/general/tipos-de-funciones

1.4 operaciones con funciones

Mi objetivo en este tema es: explicar detalladamente lo que es Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es 

Multiplicación
La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f ·g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica el producto de dichas fórmulas.

Por ejemplo, sean f(x) = x + 2 y g(x) = x², entonces la función producto es h(x) = (f ·g) (x) = (x + 2) · x² = x³ + 2x.

División

La división de dos funciones f y g es otra función f /g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las imágenes de f y g, siempre que la imagen de g sea distinto de 0.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica la división de dichas fórmulas, excepto para los valores de x en que g(x) es cero, pues para dichos valores no existe la función división.

Sean f(x) =x³ + 2 y g(x) = x². La función división f/g es:

El dominio de definición de esta función es R - {0}, es decir está definida para cualquier valor de x excepto para x = 0.

En la siguiente escena puedes ver las gráficas de estas tres funciones f(x) , g(x) y h(x) = f(x)/h(

1.5 composición de funciones 

Mi objetivo es aprender un poco más en la investigación de este tema y hacerles ver lo entendido.

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm

1.6 Gráfica de una función

Objetivo: Aprender a graficar funciones.

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

http://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-grafica-de-una-funcion

1.7 Función lineal y función cuadrática

Objetivo: saber distinguir cada tipo de función 

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + b            donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:
f(x) = mx
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
f(x) = mx + b                                              
 http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax² + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax² es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente.
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/quadratic.html

 1.8 Función exponencial y logarítmica Objetivo: aprender a calcular ambos tipos de funciones.

La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas". Es importante aprender bien las funciones exponenciales y logarítmicas, porque ambas son de gran importancia en las matemáticas.
Se llama función exponencial a aquella cuya expresión es: f ( x ) = k . ax + b Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y cuenta con una característica particular, ya que su derivada es la misma función. 
La función logarítmica es del tipo f ( x ) = logb x donde b representa a un número real dis¬tinto de 1 y x es siempre mayor que 0 b ? R; b = 1; x > 0 .

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/graphing-exponential-and-logarithmic-functions.html


1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación. 

Mi objetivo es conocer muy bien como aplicar cada una de las funciones en las ciencias económico administrativas.

La función de oferta es la cantidad ofrecida de un Bien (q) con su Precio del Mercado (P).

Normalmente, la relación entre cantidad ofrecida y precio del Bien es positiva: aumentos en el Precio están asociados a aumentos en la Cantidad Ofrecida.

La Función de Oferta se denota como:

q=g(P, ?)

donde q es la cantidad ofrecida del Bien, p es su Precio de Mercado y ? son otros factores que influyen en la Oferta, tales como la tecnología, la Función de Producción, el precio de los Factores Productivos que colaboran en la producción del Bien, el clima, etc.

La Función de Oferta se puede representar en un gráfico donde en el eje vertical se mide el Precio del Bien y en el eje horizontal su cantidad ofrecida. corno una curva de inclinación positiva, o creciente de izquierda a derecha.


La función de demanda 

La ley de la demanda señala que es probable observar que cuando el precio de un bien aumenta su demanda disminuye, por dos razones: las personas podemos sustituir un bien por otro similar en mercados competitivos y porque el poder de compra se reduce cuando el precio aumenta. 
El razonamiento aplica para el sentido contrario, una disminución del precio implicará un aumento de la demanda bajo ciertas circunstancias supuestas como que se trata de un individuo que maximiza su utilidad sujeto a las restricciones comunes.

P = b - cQ

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2B.html

Función de recta presupuestal

La ecuación de la recta presupuestaria depende del ingreso de los consumidores y de los precios de los bienes. 

PxX+PyY=I

Px - precio del producto X         Py - precio del producto Y                                                       I – Ingresos del consumidor 

http://es.slideshare.net/edgaricardo/la-recta-de-presupuesto-03

Función de ingresos, costos y utilidad

Función de Ingreso  (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.

Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.

Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:

Cantidad Q Precio

P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)

En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.

Función de Costos: 

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo

En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

 Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costo marginal, mide el costo incrementa por artículo.

 Función de utilidad:

                                            U = f (X1, X2, X3 , ... , Xn) (1.1)

Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada persona.

http://es.scribd.com/doc/68823445/Funcion-de-Costo-Utilidad-e-Ingresos#scribd

Funciones de apreciación y depreciación

La depreciación y apreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo será igual al costo menos el valor de desecho.

Costo – valor de desecho	=	monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual

http://addimate.blogspot.mx/2014/05/funciones-de-apreciacion-y-depreciacion.html

RESUMEN

En esta primera unidad vimos las funciones, una función es una regla en la que introduzco un valor de entrada y me da un valor de salida. Al valor de entrada se le llama dominio y al valor de salida se le llama  rango o codominio. Existen varios tipos de funciones. Vimos también cada uno de ellos. 

amos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.  vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas".

La ley de la demanda señala que es probable observar que cuando el precio de un bien aumenta su demanda disminuye. La ecuación de la recta presupuestaria depende del ingreso de los consumidores y de los precios de los bienes.  Función de Ingreso  (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo. La depreciación y apreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. esto es lo que vimos en la unidad 1.